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1. Aufgabe

2. Aufgabe

3. Aufgabe

4. Aufgabe

5. Aufgabe

6. Aufgabe

7. Aufgabe

8. Aufgabe

9. Aufgabe

10. Aufgabe

11. Aufgabe

In einem Testbereicht der Zeitung "auto motor sport" konnte man die Motorkennlinien des Audi R8 finden, wie sie links abgebildet sind.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Koordinaten für das maximale Drehmoment und der maximalen Leistung je eine ganzrationale Funktion, die ...
... einen möglichst kleinen Grad haben,
... den Verlauf beider Graphen annähernd beschreiben und
... in den Extremwerten exakt mit den gegebenen Werten übereinstimen.

Beachten Sie auch den mathematisch / physikalischen Zusammenhang zwischen M, n und P.

Lösungshinweis

12. Aufgabe

Ein Radfahrer fährt auf einer bergigen Strecke. Auf einer Bergkuppe macht er Rast. Während der ersten zwei Minuten nach dieser Rast verhält sich seine Geschwindigkeit gemäß der Funktion:

v(t) = 0,0001 t³ - 0,02 t² + 1,05t

Aufgaben

1. Wie viele Sekunden nach Pausenende zeigt der Tacho die Höchstgeschwindigkeit an?

2. Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht der Radfahrer in der betrachteten Zeitspanne.

3. Wann und wie groß war die maximale Beschleunigung?

4. Wann und wie groß war die maximale Verzögerung?

5. Wie viele Meter konnte der Radfahrer die Beschleunigung genießen?

6. Wie lange benötigt der Radfahrer für den 1. Kilometer nach der Pause?

Lösung: Aufgabe zu Weg-Zeit-Geschwindigkeit- Beschleunigung

13. Aufgabe

Ein Fahrzeug wird auf einer Rennstrecke aus dem Stand kurz stark beschleunigt und wieder bis zum Stillstand abgebremst.
In den ersten 20s. der Fahrt verhält sich dabei die Geschwindigkeit gemäß der Funktion:

v(t) = 0,007(t - 20)² t²

Es gelten hierbei die SI-Einheiten, die der Übersichtlichkeit wegen nicht mitgeschrieben sind.

A: Welches ist die Höchstgeschwindigkeit, die das Fahrzeug ereicht?
B: Wie groß ist die höchste Beschleunigung?
c: Welche Strecke legt das Fahrzeug in diesen 20s. zurück?
C1: mit TR
C2: ohne TR
D: Zeichnen Sie die 3 Graphen s(t), v(t) und a(t).

Lösung: Beschleunigung - Abbremsung

14. Aufgabe

Auf einer Teilstrecke einer Achterbahn bewegt sich der Wagen so, wie der Funktionsgraf zeigt.

A: Wie groß ist die höchste Beschleunigung?
B: Wie groß ist die maximale Verzögerung?
C: Welche Strecke legt das Fahrzeug in diesen 6s zurück?
C1: mit TR
C2: ohne TR
D: Zeichnen Sie die 3 Graphen s(t), v(t) und a(t).

StandardLösung: Achterbahn

Lösung mit Pfiff: Achterbahn

Lösung mit Sinusfunktion: Achterbahn

15. Aufgabe

Aufgabensatz, ähnlich wie in einer Abschlussklausur

(10min)
Pro Arbeitsspiel wird genau ein mal ins Saugrohr eingespritzt,wobei die Einspritzzeit 20ms beträgt.
Dies entspricht einem Tastverhältnis von 23%.
Ermitteln Sie die Kurbelwellendrehzahl.
Hinweis zum Tastverhältnis: ( TV = ti / T )
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Lösung: n_KW= 1380/min
(10min)
Bei einem älteren 6-Zyl.-Ottomotor mit einer Zündspule und Verteiler beträgt die KW-Drehzahl 3280/min.
Der Schließwinkel ist unter dieser Bedingung 56%.
Bestimmen Sie die Schließzeit.
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Lösung: n_KW= 3,42ms
(10min)
Der Motor aus Aufg. 2) hat einen Drehzahlbreich von (950... 6500) /min.
Die Bohrung beträgt 100mm und der Hub 90mm.
Schätzen Sie die maximale Kolbengeschwindigkeit ab.
(Notieren Sie dazu Ihre Überlegungen und Berechnungen.)
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Lösung: v_Kmax= ca. 32m/s
berechnet wird die mittlere Kolbengeschwindigkeit bei max. Motordrehzahl
Der Kolben bewegt sich aber nicht gleichförmig sondern etwa sinusförmig, wobei nur der Geschwindigkeitsbetrag berücksichtigt wird.
Man betrachtet nur die obere Sinushalbwelle und schätzt das Verhältnis von Maximal- zu Mittelwert zu ca 1,7 ab.
Also ist die Maximalgeschwindigkeit etwa das 1,6 fache der Durchschnittsgeschwindigkeit.
(40min) Bei einer Hubkolbenmaschine hängt die Kolbenkraft vom Kolbenweg nach folgender Funktion ab:

F(s) = 3*10^-6*( s²-380)² *s²
Die Kolbenbewegung ist begrenzt zwischen den beiden äußeren Nullstellen dieser Funktion.
Wie groß ist die maximale Kolbenkraft?
Wie stark ändert sich die Kolbenkraft maximal pro Kolbenweg?
Bestimmen Sie die vom Kolben auf seinem Weg verrichtete Arbeit.
Zeichnen Sie den Graphen F(s) in den angegebenen Grenzen.
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Hinweis zur Berechnung der Kolbenarbeit: Die Arbeit des Kolbens berechnet sich aus dem bestimmten Integral F(s)ds
Lösungen:
F_max= 24,4 (Krafteinheiten)
F´_max = 4,64 (Krafteinheiten/ Wegeinheiten)
W = 498 (Arbeitseinheiten)
Tabelle zur Kurvendiskussion: ... selber erstellen
Graphen zeichnen : selber machen

16. Aufgabe

Ein Werkzeugschlitten wird auf einer Führung periodisch hin und her bewegt.
Während einer Periode erfolgt die Geschwindigkeit des Schlittens gemäß der Funktion:

v(t) = 0,05t(t⁴ -12t² +20)

(alle Einheiten gemäß SI)
Dabei gilt diese Geschwindigkeitsfunktion zwischen ihren beiden äußeren Nullstellen.

gesucht ist:
1. Extremwerte der Geschwindigkeit
2. Extremwerte der Beschleunigung
3. gesamte während einer Stunde pausenlosen Betriebs zurückgelegte Wegstrecke

Lösungen (zu Ihrer Kontrolle):
vE1 =   2,01 m/s    bei tE1= -2,57s
vE2 =  -0,51 m/s    bei tE1= -0,78s
vE3 =   0,51 m/s    bei tE1=  0,78s
vE4 =  -2,01 m/s    bei tE1=  2,57s
aE5 =  -2,24 m/s^2  bei tE5 =-1,90s 
aE6 =   1,00 m/s^2  bei tE6 = 0,00s
aE7 =   2,24 m/s^2  bei tE7 = 1,90s
s   =   5,20 m      Gesamtweg während einer Periode 
sges=   3603 m      Gesamtweg in einer Stunde

17. Aufgabe

gegeben ist die Funktion

f(x) = 2x³ - 8x³ + 12

gesucht sind die beiden Funktionsterme der Halbkreise, die gemeinsam den Vollkreis ergeben, der den Graph von f(x) in seinem Wendepunkt von links berührt und einen Durchmesser von 8 (Einheiten) hat.

Die ist ganz schön harter Tobak!!
Ohne Skizze bleibt die Aufgabe vermutlich für die meisten Schülerinnen und Schüler unverständlich.

Also :
- Skizzieren Sie ein Koordinatensystem
- Tragen Sie den Graph einer Funktion 3. Grades ein.
- Markieren Sie den Wendepunkt (WP).
- Skizzieren Sie dann einen Kreis so, dass er den Wendepunkt von f(x) von links berührt.
Wenn´s beim 1. Versuch auch nicht gleich klappt, spätestens beim 4. Anlauf, sollten Sie diese Skizze einigermaßen ordentlich auf dem Papier haben.
- Markieren Sie den Mittelpunkt des Kreises (M).
- Skizzieren Sie die horizontalen Durchmesserlinie des Kreises.
- bezeichnen Sie den oberen Halbkreis mit f_o(x).
- bezeichnen Sie den unteren Halbkreis mit f_u(x).
- Zeichnen Sie nun noch die Gerade ein, die durch den M und WP geht.
Nun haben Sie bereits eine (hoffentlich) saubere und lesbare Planskizze, an der Sie die Verhältnisse anschaulich studieren können.

Wie soll´s nun weitergehen? Teillösungen zu Ihrer Kontrolle
1. Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts. WP (4/3 ; 68/27)
2. Da der Kreis den Funktionsgraphen im Wendepunkt berühren soll, muss er dort die gleiche Steigung haben wie f(x). f´(4/3) = -32/3
3. Der Kreismittelpunkt muss auf der Geraden liegen, die senkrecht auf der Wendetangente steht.
4. Bestimmen Sie die Steigung dieser Geraden. m = 3/32
5. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung g(x) der Geraden durch den M und WP. (Punkt u. Steigung der Geraden sind gegeben) g(x) = 3/32x + 2,39...
6. Da der Durchmesser des Kreises 8 sein soll, muss M 4 Einheiten von WP auf g(x) liegen.

7. Nun liegt also ein Problem der linearen Funktionen vor. Diese Nebenrechnung wird hier durchgeführt.
8. Der Punkt M (-2,6492; 2,1416) liegt links von Punkt W auf der Geraden g und hat von W den Abstand 4.
9. Die allgemeine Gleichung eines Kreises mit Radius a und Mittelpunkt (xM; yM) heißt:
10. (x - x_m)² + (y - y_m)² = a²
11. Diese Gleichung muss nach y umgestellt werden. Und es müssen 2 Funktionen gebildet werden, eine davon mit der positiven Wurzel und die andere mit der negatven Wurzel.
12. Auf diese Weise hat man jeweils eine Funktion für den oberen Halbkreis : y_o(x) = Wurzel (16 - (x + 2,6492)² ) + 2,1416
13. und eine Funktion für den unteren Halbkreis : y_u(x) = - Wurzel (16 - (x + 2,6492)² ) + 2,1416

Funktionsgrafen: Berührkreis an Wendepunkt einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

18. Aufgabe

Ein Kraftfahrzeug startet bei t=0 (s) und seine Geschwindigkeit folgt der Funktion

v(t) = 0,00003 * t² * (t-30)² * (t+10)

Hierbei gilt: [t]=s, [v]= m/s

Bestimmen Sie:

Zeitpunkt t₁, wo das Kfz wieder die Geschwindigkeit 0m/s hat.
Zeitpunkt t₂ und Wert der maximalen Beschleunigung.
Zeitpunkt t₃ und Wert der maximalen Geschwindigkeit.
Zeitpunkt t₄ und Wert der maximalen Verzögerung.
Zeichnen Sie den Graphen v(t) im Intervall [0; t₁].
Durchschnittsgeschwindigkeit des Kfz im Intervall [0; t₁].
den Beschleunigungsweg und die Beschleunigungszeitdauer
den Bremsweg und die Bremszeitdauer

Nutzen Sie die Ableitungs- und Integrationsfunktionen des TR nur zu als Kontrolle.

Hinweis: Es gilt: ds(t)/dt = v(t) und dv(t)/dt = a(t)

Lösungen (zu Ihrer Kontrolle):

⁵

⁴

Zeitpunkt t₁, wo das Kfz wieder die Geschwindigkeit 0m/s hat. (30s)
Zeitpunkt t₂ und Wert der maximalen Beschleunigung. (9,04s; 3,66m/s^2)
Zeitpunkt t₃ und Wert der maximalen Geschwindigkeit. (17,04s; 39,56m/s)v
Zeitpunkt t₄ und Wert der maximalen Verzögerung. (24,9s; -4,78m/s^2)
Zeichnen Sie den Graphen v(t) im Intervall [0; t₁].(s. Schaubild rechts)
Durchschnittsgeschwindigkeit des Kfz im Intervall [0; t₁]. (20,25m/s)
den Beschleunigungsweg und die Beschleunigungsdauer (326,45m; 17,04s)
den Bremsweg und die Bremsdauer (281,05m; 12,96s)

19. Aufgabe

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