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vorige Seite	4.041 mögliche Aufgabe zur FHR-Prüfung (Weg-Zeit-Geschwindigkeit-Beschleunigung zuletzt bearbeitet am 31.8.2008	nächste Seite

Ein Radfahrer fährt auf einer bergigen Strecke. Auf einer Bergkuppe macht er Rast. Während der ersten zwei Minuten nach dieser Rast verhält sich seine Geschwindigkeit gemäß der Funktion:

v(t) = 0,0001 t³ - 0,02 t² + 1,05t

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Aufgaben

1. Wie viele Sekunden nach Pausenende zeigt der Tacho die Höchstgeschwindigkeit an?

2. Welche Maximalgeschwindigkeit erreicht der Radfahrer in der betrachteten Zeitspanne.

3. Wann und wie groß war die maximale Beschleunigung?

4. Wann und wie groß war die maximale Verzögerung?

5. Wie viele Meter konnte der Radfahrer die Beschleunigung genießen?

6. Wie lange benötigt der Radfahrer für den 1. Kilometer nach der Pause?

Aufgabe

Lösung

Tabellenkalkulation (Excel)

1

Die Zeitpunkte mit einer horizontalen Tangente an den Funktionsgraph erhält man durch Nullsetzen der abgeleiteten Funktion:

v´(t) = 0,0003 t² - 0,04 t +1,05 (1.Ableitung)

0 = 0,0003 t² - 0,04 t +1,05 (= 0 setzen)

t₁ = 35,9s und t₂ = 97,4s (Die beiden Lösungen dieser Gleichung)

An einem der beiden Zeitpunkte liegt ein Geschwindigkeitsmaximum vor, am anderen ein Minimum. Einsetzen der Lösungen in die 2.Ableitung ergibt ein Entscheidungsmerkmal:

v´´(t) = 0,0006 t - 0,04 (2.Ableitung)

v´´(35,9s) <0 und v´´(97,4s) >0 (Einsetzen der Lösungswerte und Berechnung)

Bei t₁ = 35,9s hat der Radfahrer eine Maximalgeschwindigkeit erreicht (Schlussfolgerung1)

Bei t₂ = 97,4s hat der Radfahrer eine Minimalgeschwindigkeit erreicht (Schlussfolgerung2)

Es bleibt aber zu prüfen, ob nach 2 Minuten die Geschwindigkeit evtl. höher ist als bei t₁!
v(120) = 0,0001*120³ - 0,02 *120² + 1,05*120 =10,8 (m/s) (Also hat der Radfahrer tatsächlich bei t₁ die höchste Geschwindigkeit innerhalb des betrachteten Zeitraums erreicht.)

---

2

Die Maximalgeschwindigkeit berechnet man, indem man den Wert von t₁ in die Funktionsgleichung v(t) einsetzt:
v(35,9) = 0,0001 *35,9³ - 0,02 *35,9² + 1,05 *35,9 = 16,54 (m/s) (Geschwindigkeit bei t₁)

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3

Die 1. Ableitung von v(t) ergibt die Beschleunigungsfunktion nach der Zeit. Sind die Werte negativ, spricht man von Verögerung. Die maximale Beschleunigung / Verzögerung erhält man somit durch Nullsetzen der Ableitung der Beschleunigungsfunktion:
v´´(t) = 0,0006 t - 0,04 (2.Ableitung (s.o.))

0 = 0,0006 t - 0,04 (= 0 setzen)

t₃ = 66,7s (Die Lösung dieser Gleichung)

Nach der Pause hat das Fahrrad aber bis zu seiner Höchstgeschwindigkeit zunächst beschleunigt. Da die Rechnung kein Beschleunigungsmaximum ergeben hat, es aber andererseits irgendwann ein Beschleunigungsmaximum gegeben haben muss, muss dieses gleich zu Beginn des betrachteten Zeitintervalls gewesen sein: (praktische Überlegung ohne Mathematik)

v´(0) = 0,0003 *0² - 0,04 *0 +1,05 = 1,05 (m/s²) (maximale Beschleunigung unmittelbar beim Start nach der Pause)

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4

In der Lösung zu Aufgabe 3 wurde bereits der Zeitpunkt der maximalen Verzögerung berechnet. Durch Einsetzen dieser Zeit in die 1. Ableitung von v(t) erhält man nun der zugehörigen Verzögerungswert:

v´(66,7) = 0,0003 *66,7² - 0,04 *66,7 +1,05= -0,28(m/s²) (maximale Verzögerung)

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5

Die zurückgelegte Strecke erhält man aus dem bestimmten Integral der Geschwindigkeitsfunktion über die Zeit. Da die Beschleunigung während der Zeit von 0s bis 35,9s erfolgte, ist auch über diese Zeit zu integrieren:






Grenzen einsetzen und ausrechnen ergibt: s₁ = 409,7m (Die Strecke während der Beschleunigung bis zur Maximalgeschwindigkeit)

5

In dieser Aufgabe ist die zurückgelegte Strecke bekannt und die erforderliche Zeit wird gesucht. Das führt auf folgende Gleichung:

Die Integration ergibt:

und weiter:
1000 = 0,25*0,0001* T⁴ - 0,3333*0,02* T³ + 0,5* 1,05* T²

oder
1000 = 0,000025*T⁴ - 0,006667*T³ + 0,525*T²

oder
0,000025*T⁴ - 0,006667*T³ + 0,525*T² - 1000 = 0


Diese Gleichung 4. Grades löst man am ehesten durch ein numerisches Näherungsverfahren
(siehe dazu auch

Hier sind einige Links zu finden, die zu interessanten / hilfreichen Matheseiten im WWW führen.

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