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1. Aufgabe

2. Aufgabe

3. Aufgabe

4. Aufgabe

5. Aufgabe

6. Aufgabe

7. Aufgabe

8. Aufgabe

9. Aufgabe

10. Aufgabe

11. Aufgabe

12. Aufgabe

Moderne Fahrzeuge haben einen Bordrechner. Neben vielen anderen Funktionen berechnet der auch die Durchschnittsgeschwindigkeit v_m (mittlere Geschwindigkeit) einer Fahrt z.B. von Oldenburg (Kreis Oldenburg) nach Kiruna (Nordschweden). Er zeigt darüberhinaus sogar den aktuellen Wert an, der bisher bei dieser Reise erzielt wurde. Aktualisiert wird dabei nicht kontinuierlich, sondern z.B. alle 15s.
Man kann sich vorstellen, dass zu Beginn einer Fahrt (im Stadtgebiet von Flensburg) diese Durchschnittsgeschwindigkeit sich relativ häufig und relativ stark ändert, auch noch, sobald man die Stadt verlassen hat und bei freier Fahrt zügig unterwegs ist. Die Anzeige zu beobachten wird jedoch mit zunehmender Fahrtdauer immer uninteressanter, weil sich immer weniger verändert, je länger man unterwegs ist.
Woran liegt das denn eigentlich?

Nun zur eigentlichen Aufgabe:
Auf dieser beschriebenen Reise (sie dauert vermutlich länger als 30 Stunden) fuhr das Fahrzeug die ersten 5 1/4 Stunden zwar mit häufig unterschiedlicher Geschwindigkeit, im Durchschnitt jedoch mit 100km/h. In Malmö (Schweden) dann stellte der Fahrer den Tempomat auf die erlaubten 80km/h ein und cruiste auf diese Weie völlig entspannt die restlichen 1840 km über die gut ausgebauten Landstraßen der wald- und seenreichen Landschaft.

So weit so gut.
Unmittelbar hinter der schwedischen Grenze stellte der Fahrer das Display des Bordrechners so ein, dass gerade die Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit der Gesamtreise angezeigt wurde, beobachtete wie diese sich allmählich veränderte und grübelte über die Funktion nach, mit der man das zeitliche Verhalten dieser Anzeige beschreiben konnte. So hielt er sich zwar bis Kiruna wach, konnte die Lösung jedoch nicht finden.

Schaffen Sie´s?

Lösung

Aus den in der Aufgabe enthaltenen Angaben kann man zunächst berechnen, dass in den ersten 5 1/4 Stunden eine Strecke von 525km (Oldenburg-Malmö) zurückgelegt wurden und dass für die restlichen 1840km eine Zeit von 23 Stunden benötigt wurden.
Insgesamt war die Strecke also 2365km weit und wurde in 28,25 Stunden zurückgelegt.

Nun zur Durchschnittsgeschwindigkeit:

In Malmö angekommen zeigte das Display genau v_m = 100km/h an.
Da war das Fahrzeug bereits 525km und 5,25 Stunden unterwegs.

In Kiruna angekommen muss das Display genau v_m = 83,72km/h angezeigt haben.
Denn da war das Fahrzeug 2365km und 28,25 Stunden unterwegs.

Während der Fahrt durch Schweden muss sich der Wert von v_m also kontinuierlich von 100km/h auf 83,72km/h verringert haben.

So weit kann noch jeder diese Überlegungen und Berechnungen durchführen.

Nun zur Funktion:

Zunächst einmal ein paar Vorüberlegungen:

Welche Funktion eigentlich? Na klar: Die angezeigte Gesamtdurchschnittsgeschwindigkeit ändert sich mit der Zeit, also:
v_m = f( t)
Wann beginnt die Zeit zu zählen? Wenn das Fz im Malmö angekommen ist und dann weiterfährt. Also t = 0 in Malmö.
Welchen Wert hat zur Startzeit v_m? Schon bekannt: v_m = 100km/h.
Welchen Wert hat zur Startzeit die bereits zurückgelegte Strecke? S.o.: s = 525km
Sonst noch was? Ja! Ab Malmö beträgt die Geschwindigkeit konstant v = 80km/h
Wie berechnet man eigentlich die Durchschnittsgeschwindigkeit? v_m = s / t,
wobei s die bisher zurückgelegte Strecke und t die dafür benötigte Zeit ist.

Zeit	Strecke	Vm
(h)	(km)	(km/h)
0	525	100,0
1	605	96,8
2	685	94,5
3	765	92,7
4	845	91,4
5	925	90,2
6	1005	89,3
7	1085	88,6
8	1165	87,9
9	1245	87,4
10	1325	86,9
11	1405	86,5
12	1485	86,1
13	1565	85,8
14	1645	85,5
15	1725	85,2
16	1805	84,9
17	1885	84,7
18	1965	84,5
19	2045	84,3
20	2125	84,2
21	2205	84,0
22	2285	83,9
23	2365	83,7
24	2445	83,6
25	2525	83,5
26	2605	83,4
27	2685	83,3
28	2765	83,2
29	2845	83,1

Excel Graph Durchschnittsgeschwindigkeit =f(t)

Mit Excel lässt sich sowohl die Tabelle als auch der Graph leicht erstellen.
So hat man bereits einen Überblick, wie der Hase läuft.

Das ist zwar schon ganz gut, entspricht aber nicht der Aufgabe, wo ja nach dem Funktionsterm gefragt wurde.

Funktionsterm für Durchschnittsgeschwindigkeit

es eine Polstelle mit VZW bei t= -5,25h geben muss. (Wieso?)

der Funktionsgraf durch den Punkt (0h ; 100 km/h) verlaufen muss. (Wieso?)

der Funktionsgraf sich für große Zeiten t asymptotisch an den Wert 80km/h anschmiegt. (Wieso?)

13. Aufgabe

Funktion und Asymptote
	Gegeben ist die Funktion mit dem links abgebildeten Funktionsterm. Für welche Werte von x beträgt die relative Abweichung der Werte der Asymptote dieser Funktion und den Werten der Originalfunktion höchstens 1 Promille?
	Eine Asymptote a(x) ist eine ganzrationale Funktion, deren Funktionswerte um so besser mit denen der Originalfunktion f(x) übereinstimmen, je weiter die x-Werte von den Definitionslücken entfernt sind. Ist man nur weit genug von den Definitionslücken des Koordinatensystems entfernt, kann die Differenz zwischen Funktionswert und Asymptotenwert beliebig klein werden, insbesondere also auch kleiner als ein Promille (= 1/1000 = 0,001).
	Die Asymptotenfunktion erhält man durch algebraische Division des Zählers von f(x) durch den Nenner von f(x), wobei der Rest keine Rolle spielt. Hier erkennt man auch, dass der Grad von a(x) gleich dem Grad von Z(x) - Grad von N(x) beträgt. Hier: Grad von a(x) = 2. a(x) ist also in diesem Fall eine Parabel.
	Die Darstellung zeigt die beiden Graphen f(x) und a(x) Für x < -10 stimmen a(x) und f(x) etwa überein. Für -10 < x < 5 verhält sich f(x) ganz anders als a(x). Für x > 5 stimmen a(x) und f(x) etwa überein.
Die Aufgabe ist nun herauszufinden, für welche Werte von x die relative Abweichung zwischen f(x) und a(x) kleiner als 0,001 ist. Unter der relativen Abweichung versteht man den Quotienten: Differenz der beiden Werte dividiert durch Funktionswert. Der Graphik kann man bereits ungefähr entnehmen, dass x1 < -10 sein muss und x2 > 5. Außerdem muss es noch 2 weitrere Stellen geben in der Umgebung des Schnittpunkts der beiden Graphen (Funktion und Asymptote).
	Die mathematische Formulierung lautet also: Von vorne herein ist ja nicht klar, ob sich die Funktion von oben oder von unten an die Asymptote anschmiegt, daher die Betragszeichen. Die Betragszeichen lassen sich durch die Fallunterscheidung ersetzen.
	Funktionsterme eingesetzt, ergibt sich: Die Gleichung mit dem Nenner multiplizieren: und noch einmal mit dem neuen Nenner multiplizieren: ergibt nach einigen weiteren Umformungen die Gleichung 4. Grades: Das "<" Zeichen wurde durch "=" ersetzt, da diese Gleichung ein TR lösen kann. Jedoch muss man sich nun Gedanken machen, für welche Werte von x das "<" Zeichen gilt. Ein Taschenrechner mit SOLVER-Funktion liefert dazu die beiden Lösungen x1 und x2:
	Der 2. Fall wird analog zum 1. gelöst und ergibt die Lösungen x3 und x4.
Nun hat man also vier Lösungen x1 ... x4. Dabei fällt auf, dass x2 und x3 ziemlich dicht beieinander liegen. Dies ist die Umgebung der Schnittstelle von f(x) mit a(x). x1 und x4 sind die gesuchten Werte, wo die relative Abweichung zwischen f(x) und a(x) geneu gleich 1 Promille beträgt. Somit folgt, dass für alle x < x1 und alle x > x4 gilt, dass die Asymptote a(x) besser als 1 Promille mit der Funktion f(x) übereinstimmt.

14. Aufgabe

Funktionterm aus gegebenen Eigenschaften
Gesucht wird der Term einer möglichst einfachen gebrochen rationalen Funktion mit folgenden Eigenschaften: S_y = 5 (Y-Achsabschnitt) x_o1= -2, x_o2 = 3 (Nullstellen) x_p1 = -1, x_p2 = 2 (Polstellen) x_p1 soll eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel sein. x_p2 eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel sein. ya(x) = 3x+4 (Asymptote)
Lösung:
Gebrochen-rationale Funktionen haben die allgemeine Form:
Wegen der Nullstellen müssen im Zähler der Funktion die Linearfaktoren (x-x_o1) und (x-x_o2) vorkommen. Also gilt die nebenstehende Gleichung: Dabei ist Z1(x) eine ganzrationale Funktion, die noch bestimmt werden muss. Egal wie Z1(x) später aussieht, f(x) hat in jedem Fall bei x = -2 und bei x = 3 je eine Nullstelle.
Wegen der Polstellen muss f(x) im Nenner die beiden Linearfaktoren (x-x_p1) und (x-x_p2) haben. Also gilt die nebenstehende Gleichung: Dabei N1(x) eine ganzrationale Funktion ist, die noch bestimmt werden muss. Egal wie N1(x) später aussieht, f(x) hat in jedem Fall bei x = -1 und bei x = 2 je eine Polstelle.
Da bei x_p1 eine Polstelle ohne VZW vorliegen soll, muss der zugehörige Linearfaktor einen geraden Exponenten bekommen, und weil die Funktion möglichst einfach sein soll, wählt er die kleinstmögliche gerade Zahl, in diesem Fall also die 2. Da bei x_p2 eine Polstelle mit VZW vorliegen soll, muss der zugehörige Linearfaktor einen ungeraden Exponenten bekommen, und weil die Funktion möglichst einfach sein soll, wählt er die kleinstmögliche ungerade Zahl, in diesem Fall also die 1. Und da von f(x) sonst keine Eigenchaften erwartet werden, die vom Nenner abhängen wird N1(x) = 1 gewählt. Damit ergibt sich die rechts stehende Funktion:
Es gilt: Grad (Z(x)) - Grad (N(x)) = Grad (ya(x)) oder Grad (Z(x)) = Grad (ya(x)) + Grad (N(x)) Da der Grad (ya(x)) = 1 und der Grad (N(x))= 3 folgt: Grad (Z(x)) = 3 + 1 = 4 und daraus wiederumf folgt, dass der Grad (Z1(x)) = 2 sein muss. Z1(x) ist also von der allgemeinen Form : Dieser Faktor im Zähler kann prinzipiell für 2 zusätzliche Nullstellen von f(x) verantwortlich sein. Daher kann man in der Aufgabenstellung die Anzahl der Nullstellen nicht einfach auf 2 begrenzen.
Damit ergibt sich bisher für f(x):
Wegen S_y = 5 folgt: f(x=0) =5 und c=5/3.
Damit hat man nun folgende Funktion: Nur die beiden Parameter a und b sind noch zu bestimmen.
Nun hilft leider nix mehr: Zähler und Nenner müssen zunächst jeweils ausmultipliziert werden, was zwar viel Arbeit ist, keiner gerne macht, sich aber nicht länger vermeiden lässt und auch weiter nicht weh tut. Es ergibt sich:
Die jetzt erforderliche Polynomdivision scheint erst einmal sehr aufwändig zu werden. Keine Angst, es wird schon werden: Wie man sieht, nach 2 Divisionsschritten ist man mit dieser Arbeit fertig. Da der Rest uninteressant ist, wird er gar nicht explizit hingeschrieben.
Das Ergebnis der Division ohne Beachtung des Rests entspricht also der Asymptotenfunktion:
Und daraus folgt endlich eindeutig, dass:
Nun sind alle Informationen beisammen, und der gesuchte Funtionsterm lautet:
Der Graph von f(x) sowie seine Asymptote sind unten dargestellt. Man erkennt: die Nullstellen bei x= -2 und bei x = 3. den y-Achsabschnitt bei (= ; 5). die Polstellen bei x= -1 (ohne VZW) und bei x = 2 (mit VZW). die Annäherung des Graphen von f(x) an seine Asymptote für x-> +/- unendlich. eine weitere Nullstelle bei x =(ca.) -0,27 im gezoomten Bereich eine weitere Nullstelle bei x =(ca.) -2,065 Die beiden letzten NST ergeben sich aus dem Faktor (3x² + 7x +5/3) im Zähler.

Die beiden zusätzlichen Nullstellen waren durch die Aufgabenstellung nicht gefordert aber auch nicht ausgeschlossen. Nun stellt sich die Frage, ob es nicht eine Funktion gibt, die die geforderten Eigenschaften hat, aber die beiden zusätzlichen Nullstellen nicht. Es lässt sich beweisen, dass dies nicht geht. (Wie denn?) Dann stellt sich allerdings die weitere Frage, wie die Aufgabenstellung sein muss, um die beiden zusätzlichen Nullstellen zu vermeiden.

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