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vorige Seite	1.21 weitere Möglichkeiten zur Nullstellenbestimmung von Funktionen zuletzt bearbeitet am 27.4.2008	nächste Seite	Nullstellen PC / Funktionsgraphenplotter Tabellenkalkulation (Excel) Taschenrechner mit Solver-Funktion Sekanten - Verfahren Newton-Verfahren Intervallhalbierungs-Verfahren

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Nullstellen

PC / Funktionsgraphenplotter

Ein sehr häufige Aufgabe ist das Suchen einer Nullstelle (NST) oder sogar aller Nullstellen einer Funktion.

Wenn man fragt, an welchen Stellen zwei Funktionen f(x) und g(x) sich schneiden, erhält man die x-Koordinaten der Schnittpunkte,indem man die Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x) gleich Null setzt, man sucht also alle x für die gilt: d(x) = 0.

Die zugehörigen y-Koosrdinaten der Schnittpunkte ermittelt man durch Einsetzen der x-Koordinatenwerte in eine der beiden Funktionen f(x) oder aber g(x). Es ist egal, mit welcher der beiden Funktionen man rechnet, da in jedem Fall, der selbe Wert herauskommen muss. Schließlich handelt es sich ja um den Schnittpunkt beider Funktionen und dort sind halt x- und y-Koordinaten beider Funktionen gleich.

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Diese Aufgabe lässt sich für lineare Funktionen recht einfach und für quadratische Funktionen immer noch einigermaßen handlich lösen.

Auch gibt es Lösungsmethoden für Funktionen 3. und 4. Grades, mit denen man exakte Ergebnisse berechnen kann. Diese Methoden werden in der Schule nicht gelehrt und in der Praxis selten angewendet, da sie ziemlich umständlich sind.

Wer sich damit näher befassen will, findet Hinweise z.B. unter

1. f(x) = e^x
2. g(x) = 2 * x²

d(x) = e^x - 2 * x² = 0

Nullstellen

PC / Funktionsgraphenplotter

Tabellenkalkulation (Excel)

Die bequemste und anschaulichste Methode, die NST zu ermitteln, ist sicher die Nutzung eines PC und einer Software, mit der man die Graphen beliebiger Funktionen im Koordinatensystem darstellen kann.

1. -> Software starten
2. -> Funktionen f(x) und g(x) oder auch d(x) eingeben (Eingabemöglichkeiten und Syntax beachten!)
3. -> Graph anzeigen lassen
4. -> nach Belieben zoomen und verschieben
5. -> Cursor auf die gefundenen Schnittpunkte ziehen und angezeigte Koordinaten ablesen.

Hier ergeben sich folgende 3 Schnittpunkte:

P1 =(-0,54 ; 0,58) ; P2=(1,49; 4,42) und P3 = (2,63; 13,7)

Im Diagramm ist f(x) rot dargestellt, g(x) blau und d(x) grün. Man erkennt, dass die NST von d(x) die selben x-Koordinatenwerte haben wie die entsprechenden Schnittpunkte von f(x) und g(x).

Sollte die Genauigkeit des Ergebnisses nicht ausreichen, muss halt weiter gezoomt werden.

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Im Internet findet man Software, die online nutzbar ist z.B.:

PC / Funktionsgraphenplotter

Tabellenkalkulation (Excel)

Taschenrechner mit Solver-Funktion

1. -> Excel starten
2. -> Wertetabelle erstellen: zunächst die Spalte:"x" z.B. von -100 ... 100 in 10er Schritten (Vielleicht liegen die NST von d(x) ja in diesem Bereich!?!?)
   In der Spalte d(x) wird in eine Zelle der Funktionsterm geschrieben und anschließend so weit nach oben und unten kopiert wie nötig.
3. -> Graph anzeigen lassen

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br> Wo schneidet der Graph die x-Achse? Wo ist hat d(x) eine NST? Es scheint vielmehr, als wären alle Funktionswerte für x < 80 Null.
Beachte aber den Maßstab der d(x) -Achse. Hier ist es so, dass alle Funktionswerte,die kleiner sind als 10 ⁴⁰(!!!) praktisch auf der Nulllinie zu liegen scheinen.
Kurz und gut: An diesem Diagramm erkennt man leider nix. Es kann natürlich auch sein, dass die gesuchten NST außerhalb des angezeigten Bereichs liegen.

Aber die Wertetabelle ist so formatiert, dass alle Funktionswerte <0 rot und alle anderen grün geschrieben werden. Man erkennt auf den 1. Blick, dass zwischen x = 10 und x = 0 eine NST sein muss. Also muss man die Tabelle so ändern, dass der interessante Bereich genauer angezeigt wird.

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Die Skalen des Diagramms wurden angepasst. Trotzdem erkennt man die NST nicht deutlich, man ahnt nur, dass da was sein muss.
Wieder ist die Tabelle in dieser Beziehung wesentlich aussagefähiger: Die drei Farbwechsel zeigen nun sogar an, dass man mit 3 NST rechnen muss. Alle liegen offenbar im Bereich -1 < x < 3. Na also, da ist die Tabelle wohl ein 3. Mal zu ändern (Kraftfahrzeuge wurden auch nicht gleich beim 1. Versuch perfekt gebaut).

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Die Mühe hat sich gelohnt. Man erkennt deutlich 3 NST. Die Form des Graphen erinnert an eine ganzrationale Funktion 3.Grades. Tatsächlich ist es aber eine kompliziertere Funktion. Nun sollte man sich noch eine weitere Darstellung gönnen, nämlich die, wo auch die Graphen von f(x) und g(x) dargestellt werden:

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In dieser Darstellung erkennt man den Zusammenhang zwischen den NST der Differenzfunktion d(x) und den Schnittpunkten zwischen f(x) und g(x).

Die Koordinaten der Schnittpunkte kann man bisher nur ziemlich ungenau angeben:
1. Schnittpunkt S1 :
(-0,6 < x < -0,4) ; ( 0,55 < y < 0,67)

2. Schnittpunkt S2 :
( 1,4 < x < 1,6) ; ( 4,05 < y < 4,96)

3. Schnittpunkt S3 :
( 2,6 < x < 2,8) ; (13,52 < y < 15,68)






Wenn diese Genauigkeit nicht reicht, muss man für jeden Schnittpunkt einzeln die Zoomprozedur halt so oft wiederholen und verfeinern, bis die Schnittpunktkoordinaten mit der gewünschten Präzision aus der Tabelle ablesbar sind.

Tabellenkalkulation (Excel)

Taschenrechner mit Solver-Funktion

Sekanten- Verfahren

Es gibt Taschenrechner (TR), die eine sogenannte SOLVER - Funktion festprogrammiert haben.
Der Rechner findet dann wie von Zauberhand nach Eingabe der mathematischen Funktion, einem Startwert und einem dx-Wert eine NST dieser Funktion.
Gezaubert wird jedoch nicht, sondern die meisten TR nutzen das

1. -> TR einschalten


2. -> SOLVER -Funktion des TR aufrufen


3. -> Funktion, deren NST gesucht werden sollen, eingeben und evtl. speichern. "=" tippen






4. -> Startwert festlegen (Wenn man keinen Wert angibt, nimmt der TR den Vorschlagswert 0.) "=" tippen







5. -> dx-Wert eingeben (Wenn man keinen Wert eingibt, nimmt der TR seinen Vorschlagswert.) "=" tippen







6. -> Wenn alles optimal läuft, gibt der TR nach einer gewissen Bedenkzeit die x-Koordinate einer NST aus.

Taschenrechner mit Solver-Funktion

Sekanten- Verfahren

Newton- Verfahren

Das Sekanten-Verfahren beruht auf der Idee, dass bei einer stetigen Funktion auf der einen Seite der NST die Funktionswerte negativ, auf der anderen Seite der NST aber positiv sind.
Wenn man also zwei solche Stellen der Funktion kennt, deren Funktionswerte unterschiedliche Vorzeichen haben, so muss zwischen ihnen die NST liegen. Verbindet man nun diese beiden Punkte geradlinig, so liegt der Schnittpunkt dieser Geraden näher an der gesuchten NST als die Startwerte.
Eine ausführlichere Beschreibung findet man bei:

Sekanten- Verfahren

Newton- Verfahren

Intervallhalbierungs- Verfahren

Um das Newton-Verfahren anwenden zu können, muss man die Funktion ableiten können. Wer das nicht gelernt hat, muss eine andere Methode zur NST-Bestimmung wählen.

Das Newton-Verfahren ist eine Methode um eine NST einer Funktion zu suchen, wobei das Verfahren beliebig oft angewendet werden kann, um ein stets genaueres Ergebnis zu produzieren. Zur Erklärung s.

• n den n-ten Iterationsschritt
• n+1 den auf n folgenden Iterationsschritt.
• x_n die x-Koordinate des Schnittpunktes der n-ten Tangente mit der x-Achse
• x_n+1 die x-Koordinate des Schnittpunktes der (n+1)-ten Tangente mit der x-Achse
• x_n und f(x_n) sind die Koordianten des Punktes, wo die n-te Tangente den Funktionsgraph berührt.
• f´(x_n) ist die Steigung der n-ten Tangente

1. gibt es noch mehr NST der Differenzfunktion d(x), wenn ja, wo liegen diese?
2. Das Geheimnis der Startwerte 0, 2 und 5. Sind die beliebig???
3. Welches sind denn nun die Koordinaten der Schnittpunkte zwischen f(x) und g(x)?
4. Die SOLVER-Funktion des TR beruht auf diesem Newton Verfahren. Welche Bedeutung hat denn darin die Angabe von dx ??

Newton- Verfahren

Intervallhalbierungs- Verfahren

Seitenende

Wie beim Sekanten-Verfahren benötigt man zunächst zwei Startwerte x1 und x2, die so gewählt sein müssen, dass f(x1)< 0 und f(x2)> 0 ist.
Die Funktionswerte an den beiden Startstellen müssen also unterschiedliche Vorzeichen haben.
Oder noch anders ausgedrückt: f(x1) * f(x2) < 0 .

Den nächst genaueren x-Wert (x3) erhält man genau in der Mitte zwischen x1 und x2.

x4 = (x1 + x3)/2 , wenn f(x1) * f(x3) < 0
x4 = (x2 + x3)/2 , wenn f(x2) * f(x3) < 0 (Genau einer der beiden Fälle tritt ein.)

Wenn man fortlaufend das jweils richtige Intervall halbiert, nähert man sich der gesuchten NST beliebig genau.

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Dies soll also nun noch einmal für die gegebene Funktion d(x) = e^x - 2*x² durchgespielt werden, allerdings nur für eine NST. Die relative Genauigkeit des Ergebnisses soll größer als 1/1000 sein.

d(x) besteht aus den beiden Teilfunktionen:

1. der nach oben geöffneten Parabel, die von der normalen
2. e-Funktion subtrahiert werden soll

Für x=0 hat die Parabel den Funktionswert 0, die e-Funktion jedoch 1 Für x=-1 hat die Parabel einen größeren Funktionswert als die e-Funktion. Das weiß der Mensch, der ein wenig Ahnung vom Verlauf der beiden Funktionsgraphen hat, und kann sich so die Rechnerei sparen.

Damit sind aber auch schon zwei mögliche Startwerte gefunden: x1= -1 und x2 = 0 , denn d(x1)<0 und d(x2)>0

Der nächste Iterationswert liegt genau in der Mitte zwischen x1 und x2, also bei x3= -0,5.
Für diesen Wert wird nun der Funktionswert berechnet: d(-0,5) = 0,1.. (Genauer zu rechnen ist nicht nötig, wichtig ist, dass d(x3)>0 ist.)
Da d(x3)>0 und d(x1)<0, muss die gesuchte NST nun zwischen x1 und x3 liegen.

Nun wird also dieses Intervall genau halbiert: also ergibt sich x4 = -0,75
Für diesen Wert wird nun der Funktionswert berechnet: d(-0,75) = -0,6.. (Genauer zu rechnen ist nicht nötig, wichtig ist, dass d(x4)<0 ist.)
Da d(x4)<0 und d(x3)>0, muss die gesuchte NST nun zwischen x4 und x3 liegen.

Nun wird also dieses Intervall genau halbiert: also ergibt sich x5 = -0,625
Für diesen Wert wird nun der Funktionswert berechnet: d(-0,625) = -0,2.. (Genauer zu rechnen ist nicht nötig, wichtig ist, dass d(x5)<0 ist.)
Man weiß nun, dass die NST zwischen x3 und x5 liegen muss, also zwischen -0,625 und -0,5. Die Diferenz beider Werte dividiert durch den betragsmäßig kleineren der beiden Werte : (0,625-0,5 ) / 0,5 = 0,25. D.h. die relative Genauigkeit des Ergebnisses ist sicher besser als 25%. Das ist natürlich für viele Zwecke noch zu ungenau. Daher muss das Verfahren fortgesetzt werden. Es ergibt sich folgende Tabelle:

n xn f(xn) 1 -1 -1,632 2 0 1,000 3 -0,5 0,107 4 -0,75 -0,653 5 -0,62 -0,231 6 -0,56 -0,056 7 -0,53 0,027 8 -0,54 0,000 9 -0,535 0,013 10 -0,537 0,008 11 -0,5385 0,004 12 -0,5378 0,006

Die 1. Spalte zeigt die Nummer des Iterationsschritts. In der 2. Spalte stehen zunächst die beiden gewählten Startwerte x1 und x2 und darunter die jweiligen x-Werte der durchgeführten Iterationen. Zu bemerken ist noch, dass ab dem 5 Schritt gar nicht immer die exakten Mittelwerte gewählt wurden, sonden x-Werte, die in der Nähe der jeweiligen Mittelwerte liegen. Die 3. Spalte zeigt die Funktionswerte der jeweiligen x-Werte. Die relative Genauigkeit nach dem 12. Schritt beträgt (0,5385 -0,5378) / 0,5378 = 0,0013 = 0,13%. Für eine geforderte Genauigkeit von 1 Promille muss noch ein weiterer Iterationsschritt folgen! Überlegen Sie, wie sich die relative Genauigkeit bei diesem Verfahren von Schritt zu Schritt verbessert!

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Übungsaufgaben: Ermitteln Sie mit diesem Verfahren auch die NST folgender Funktionen:

1. y1 = 0,05 x⁵ -3x







2. wo schneiden sich die Graphen von y2= 3*sinx und y3= 0,5*cosx?







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