Beispielberechnung 2

zuletzt bearbeitet am 19.11.2004

Berechnung einer gemischten Schaltung 2

	Gegeben ist die abgebildete Schaltung aus 2 Spannungsquellen und 4 Widerst�nden mit den Werten aller Widerst�nde und den Spannungswerten der beiden Akkus. Zu berechnen sind alle Einzelspannungen an den Widerst�nden und alle Einzelstr�me, die irgendwie in dieser Schaltung messbar sind.
Als Werkzeuge stehen zur Verf�gung:	- das Ohm�sche Gesetz (U = R * I), - die Knotenregel (Die Summe aller in einen Knoten hineinflie�enden Str�me ist gleich der Summe aller aus dem Knoten abflie�enden Str�me. bzw.: Die Summe aller Str�me in einem Knoten = 0A. ), sowie - die Maschenregel ( Die Summe aller Spannungen beim Umlauf um eine Masche ist 0V.) Es soll gezeigt werden, wie man mit diesen Hilfsmitteln eine solche Schaltung analysieren kann.
	Zun�chst werden in die Schaltung alle Einzelspannungen und Einzelstr�me eingetragen. Dabei ist zu beachten: Die Strompfeile werden in der mutma�lichen Richtung eingetragen. Ist die Stromrichtung unbekannt, so entscheide man sich beliebig f�r eine Richtung. Die Spannungspfeile an Spannungsquellen zeigen vom Pluspol zum Minuspol. Die Spannungspfeile an Verbrauchern (Widerst�nden) zeigen in Stromrichtung. Mit diesen Regeln erh�lt man z.B. die linke Abbildung.
	Bevor man Formeln aufstellen und mit der Rechnung beginnen kann, muss man sich noch f�r die Umlaufrichtung in jeder einzelnen Maschen entscheiden. Au�erdem werden die Knoten A, B, C, und D benannt. Als (fast) komplettes Bild erh�lt man die linke Abbildung. In diesem Plan k�nnte man noch weitere Maschen einzeichnen, die jeweils aus mehreren Einzelmaschen bestehen.

Nun werden die Ausgangsgleichungen f�r die Rechnung formuliert:

Aus dem Ohm�schen Gesetzt ergeben sich:

1. U1 = R1 * I1
2. U2 = R2 * I2
3. U3 = R3 * I3
4. U4 = R4 * I4

Aus der Knotenregel ergeben sich :

Knoten A: I1 = I2 + I3
Knoten B: Ib = I2 + I5
Knoten C: I5 = I3 + I4
Knoten D: Ib = I1 + I4

Aus der Maschenregel ergeben sich :
Masche I: U1 +U2 - Ua - Ub = 0		U1 + U2 = Ua + Ub
Masche II: U2 - U3 = 0	bzw.:	U2 = U3
Masche III: Ub - U4 = 0		Ub = U4

Die tats�chlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen:
Ist das Vorzeichen positiv, flie�t der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung
Ist das Vorzeichen negativ, flie�t der Strom entgegen der angenommenen Richtung.

Das sind insgesamt 11 Gleichungen mit den 10 Unbekannten
U1, U2, U3, U4, I1, I2, I3, I4, I5, Ib.
Eine der 11 Gleichungen ist �berfl�ssig. Solange man nicht wei�, welche es ist, muss man alle 11 Gleichungen ber�cksichtigen.

Ziel ist es zun�chst, diese 11 Gleichungen mit 10 Unbekannten Schritt f�r Schritt zu reduzieren, bis noch 1 Gleichung mit 1 Unbekannten �brigbleibt.

Sollte dieses Gleichungssystem allerdings nicht l�sbar sein, weil noch passende Gleichungen fehlen, so kann man weitere Gleichungen aus den nicht ausgenutzten Maschen herleiten.
Au�erdem kann man sich an beliebiger Stelle im Plan einen k�nstlichen Knoten erzeugen, auch wenn er nur eine Zuleitung und eine Ableitung besitzt.

Hier noch einmal die Formeln in Reinform und durchnummeriert:

Dies ist das Gleichungssystem mit 11 Gleichungen (Gl.) und 10 Unbekannten (Unb.)
I1, I2, I3, I4, I5, Ib, U1, U2, U3, U4

Da Ub und R4 gegeben sind, gilt:
U4 = -Ub = 12V

I4 = U4 / R4 = 12V / 1000Ω = 12mA

So bleiben nur noch 9 Gleichungen (Gl.) mit 8 Unbekannten �brig
I1, I2, I3, I5, Ib, U1, U2, U3,

Wenn man nun in den Gleichungen(Gl) 9 und 10 die Spannungen ersetzt gem�� den Gl 1...4, erh�lt man das rechts abgebildete Gleichungssystem.

Dies besteht nur noch aus 6 Gl mit den 5 Unbekannnten (Unbek):
I1, I2, I3, I5 und Ib

Es sei noch bemerkt, dass das "*"-Zeichen ab hier nicht mehr mitgeschrieben wird
es gilt z.B. I1*R1 = I1R1

Nun wird in allen �brigen Gl. I5 ersetzt durch I3+I4 (Gl.7)

Au�erdem wird in allen �brigen Gleichungen I1 ersetzt durch I2 +I3 (Gl.1)

Die Gl. 5 und 7 werden dann nicht mehr ben�tigt.

Es ergibt sich das Gl.System rechts aus 4 Gl. mit 3 Unbek.
I2, I3, Ib.

Da Gl 15 und Gl 16 identisch sind, wird Gl 15 ersatzlos gestrichen.

Es ergibt sich das Gl.System rechts aus 3 Gl. mit 3 Unbek.
I2, I3, Ib.

Aus Gl. 13 l�sst sich I2 destillieren zu I2 = I3R3/R2
Dies wird in den Gl. 16 und 14 eingesetzt
2 Gl. mit 2 Unbek.
I3, Ib.
Insbesondere erkennt man, dass Gl. 17 I3 als einzige Unbek. enth�lt.

Gl. 17 wird nach I3 umgestellt
Damit ist die Aufgabe zum gr��ten Teil gel�st.

Sie haben eine Gl. mit einer Unbek., die auch bereits nach dieser Unbek. aufgel�st ist.

Sp�testens an dieser Stelle sollten Sie sich Gedanken machen, ob denn die Gleichung wenigstens bez�glich der Einheiten stimmen kann!

Hier werden Sie feststellen, dass im Z�hler 2 Spannungen addiert werden, w�hrend im Nenner 3 Widerst�nde addiert werden.
Spannung / Widerstand ist ein Strom! (Gl�ck gehabt, die L�sungsformel kann stimmen, muss aber nicht!)

Die L�sungsgleichung enth�lt nur noch I2 als Unbekannte, alle anderen Gr��en der Gl. sind bekannt.
Die bekannten Werte werden eingesetzt und I2 kann berechnet werden.

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus r�ckw�rts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, un diese dann berechnet.
Anschlie�end weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen.

Sp�testens wenn man an den Ausgangsgleichungen angekommen ist (und nichts �bersehen hat), sind alle Unbekannten berechnet.

Also los

In Gl. 18 kommt nun als einzige Unbekannte Ib vor.
Werte einsetzen und Ib ausrechnen

Auf analoge Weise ist Gl.13 geeignet, I2 zu berechnen.
Gl.13 nach I2 umstellen, Werte einsetzen und I2 ausrechnen

In diesem Sinne geht es weiter z.B. mit Gl.5, um I1 zuberechnen.
Das weitere Vorgehen ist somit klar und es ergibt sich insgesamt:

Formel

I1=	142,91mA
I2 =	58,95mA
I3=	83,96mA
I4=	12mA
I5=	95,96mA
Ia=	I1 = 142,91mA
Ib=	154,91mA
U1=	14,29V
U2=	27,7V
U3=	27,7V
U4=	12V

Beachten Sie die Vorzeichen der einzelnen Str�me bzw. Spannungen.
Da keine negatives Vorzeichen auftreten, wurden alle Strom- u. Spannungsrichtungen richtig angenommen.

Aber auch mit falschen Annahmen, h�tte die Gesamtrechnung zum richtigen Ergebnis gef�hrt!

Zugegeben, diese Art der Berechnung ist sehr schwerf�llig. H�tte man mehr Ahnung von Elektrotechnik, so w�rde man sich den Stromlaufplan vor der Berechnung wesentlich vereinfachen und k�me bei diesem Beispiel schneller zum Ziel.

Andererseits f�hrt diese Methode immer ans Ziel, auch wenn man den Schaltplan nicht vereinfachen kann.

Quickstart

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Grundlagen der Elektrotechnik

Gleichstromtechnik

Gemischte Schaltungen

Berechnung einer gemischten Schaltung 2

Als Werkzeuge stehen zur Verf�gung:

Nun werden die Ausgangsgleichungen f�r die Rechnung formuliert:

Die tats�chlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen:
Ist das Vorzeichen positiv, flie�t der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung
Ist das Vorzeichen negativ, flie�t der Strom entgegen der angenommenen Richtung.

Sp�testens an dieser Stelle sollten Sie sich Gedanken machen, ob denn die Gleichung wenigstens bez�glich der Einheiten stimmen kann!

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus r�ckw�rts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, un diese dann berechnet.
Anschlie�end weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen.

Also los

Beachten Sie die Vorzeichen der einzelnen Str�me bzw. Spannungen.
Da keine negatives Vorzeichen auftreten, wurden alle Strom- u. Spannungsrichtungen richtig angenommen.

Zugegeben, diese Art der Berechnung ist sehr schwerf�llig. H�tte man mehr Ahnung von Elektrotechnik, so w�rde man sich den Stromlaufplan vor der Berechnung wesentlich vereinfachen und k�me bei diesem Beispiel schneller zum Ziel.

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Berechnung einer gemischten Schaltung 2

Als Werkzeuge stehen zur Verf�gung:

Nun werden die Ausgangsgleichungen f�r die Rechnung formuliert:

Die tats�chlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen: Ist das Vorzeichen positiv, flie�t der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung Ist das Vorzeichen negativ, flie�t der Strom entgegen der angenommenen Richtung.

Sp�testens an dieser Stelle sollten Sie sich Gedanken machen, ob denn die Gleichung wenigstens bez�glich der Einheiten stimmen kann!

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus r�ckw�rts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, un diese dann berechnet. Anschlie�end weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen.

Also los

Beachten Sie die Vorzeichen der einzelnen Str�me bzw. Spannungen. Da keine negatives Vorzeichen auftreten, wurden alle Strom- u. Spannungsrichtungen richtig angenommen.

Zugegeben, diese Art der Berechnung ist sehr schwerf�llig. H�tte man mehr Ahnung von Elektrotechnik, so w�rde man sich den Stromlaufplan vor der Berechnung wesentlich vereinfachen und k�me bei diesem Beispiel schneller zum Ziel.

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Die tats�chlichen Stromrichtungen ergeben sich aus dem Vorzeichen in den einzelnen Rechenergebnissen:
Ist das Vorzeichen positiv, flie�t der betreffende Strom genau in der angenommenen Richtung
Ist das Vorzeichen negativ, flie�t der Strom entgegen der angenommenen Richtung.

Die restlichen Unbekannten ermittelt man nun, indem man von hier aus r�ckw�rts alle Gleichungen durchsucht, bis man die erste gefunden hat, in der nur noch eine einzige Unbekannte vorkommt, un diese dann berechnet.
Anschlie�end weiter nach oben durchsuchen und weiter berechnen.

Beachten Sie die Vorzeichen der einzelnen Str�me bzw. Spannungen.
Da keine negatives Vorzeichen auftreten, wurden alle Strom- u. Spannungsrichtungen richtig angenommen.