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4.0102 Anwendungen der Integralrechnung

Weg - Geschwindigkeit - Beschleunigung

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1. Aufgabe

Ein Fahrzeug startet aus dem Stillstand.
Die nächsten 14s verhält sich seine Geschwindigkeit gemäß der Funktion:

a) Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Fahrzeug innerhalb dieser 10s?
b) Welche Strecke legt das Fahrzeug innerhalb dieser 10s zurück?
c) Welches ist die maximale Beschleunigung innerhalb dieses Zeitraums?

2. Lösung

a)

Die Höchstgeschwindigkeit erhält man, indem man die Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion nach der Zeit Null setzt.
Dann muss man noch kontrollieren, ob es sich an den gefundenen Stellen um jeweils ein Maximum oder Minimum handelt.

die Ableitung von v(t) nach der Zeit ergibt:

v´=0 setzen:

Ergebnisse :

Ein Maximum bei t₀₁ würde genau dann vorliegen, wenn die 2. Ableitung bei dieser Zeit negativ wäre.
Also: 2. Ableitung bilden,

die 2. Ableitung von v(t) nach der Zeit ergibt:

in v´´nacheinander die NST der 1. Ableitung einsetzen:

Ergebnisse :

da v´´(4,39) <0 ist, hat das Fz zu dieser Zeit ein Geschwindigkeitsmaximum.
da v´´(10,85) >0 ist, hat das Fz zu dieser Zeit ein Geschwindigkeitsminimum.

Die maximale Fz-Geschwindigkeit erhält man nun durch Einsetzen von t = 4,39 in die Funktion v(t):

v(4,39) = v_max = 18,99 (m/s) = 68,4km/h

b)

Wenn man v(t) nach der Zeit ableitet, erhält man die zugehörige Beschleunigungsfunktion a(t).
Will man die höchste Beschleunigung berechnen, so muss man die Beschleunigungsfunktion ableiten.
Also muss man die 2. Ableitung der Geschwindigkeitsfunktion Null setzen.

Es ergibt sich : Bei t = 7,62s hat v´´(t) eine NST.

Die 3. Ableitung (v´´´= 0,42) ist aber bei t= 7,62 >0, woraus folgt, dass hier ein Beschleunigungsminimum vorliegen muss.
Bei t = 7,62s hat das Fz seine maximale Verzögerung innerhalb des betrachteten Zeitraums.

Innerhalb des Zeitraums gibt es keine maximale Beschleunigung! Andererseits, muss es aber so etwas geben, da die Geschwindigkeit nicht konstant ist. Also muss die maximale Beschleunigung an einer der beiden Zeitraumgrenzen liegen.
Es sind daher die Beschleunigungen bei t=0s und bei t = 12s zu berechnen:

v´(0) = 10 (m/s²)
v´(12) = 1,84 (m/s²

Die maximale Beschleunigung von a= 10 m/s² hat das Fz gleich beim Start (t=0).

c)

Wenn man v(t) nach der Zeit integriert, erhält man die zugehörige Wegfunktion s(t).

Das bestimmte integral mit der unterenGrenze 0 und der oberen Grenze 12 ergibt die in den ersten 12s nach Start zurückgelegte Strecke.

12s nach Start hat das Fz eine Strecke von 161,86m zurückgelegt.

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