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Berufskolleg Mitte - Essen

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4.01 Anwendungen der Integralrechnung

4.01.01 Gesamteinkommen im Erwerbsleben

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Aufgabe

Herr Knut arbeitete ununterbrochen seit dem Beginn seines 20. Lebensjahrs bis zu seiner Verrentung mit Ende 67 Jahren in ein und derselben Firma.
Sein Monatslohn betrug im 120. Arbeitsmonat 1353,56 Euro. Selbst wenn Herr Knut noch 355 Jahre weiter so gearbeitet hätte, wäre sein Lohn niemals über 3000 Euro/Monat gestiegen.

Nehmen Sie an, der Monatslohn des Herrn Knut hätte sich kontinuierlich von Monat zu Monat gesteigert, also im 0. Monat 0 Euro, im 120. Monat 1353,56 Euro und später immer mehr, jedoch immer weniger als 3000 Euro / Monat.
Für ein solches Wachstum gibt es eine passende Exponentialfunktion.

1. Entwickeln Sie den Funktionsterm, der den zeitlichen Verlauf des Monatslohns von Herrn Knut beschreibt.

2. Berechnen Sie sein ungefähres Gesamteinkommen während seiner kompletten Arbeitszeit.

Lösung
1. Funktionsterm

Die 1. Schwierigkeit besteht darin, den richtigen Typ von Funktionsterm zu finden.
Im Text steht, dass es sich um eine Exponentialfunktion handeln soll, und außerdem, dass das Einkommen niemals über 3000 Euro/Monat hinaus wachsen würde, selbt wenn Herr Knut noch lange weiter arbeiten würde.

Solche Funktionen sind bekannt als Sättigungsfunktionen.
Im Kapitel Exponentialfunktionen werden einige Beispiele solcher Sättigungsfunktionen durchgerechnet.

Mit etwas Mühe und Arbeit erhält man die Funktion:

Eine Probe kann man machen, wenn man z.B. für t 120 einsetzt und tatsächlich als Funktionswert 1353,56 erhält.
Außerdem müssen für sehr große Werte von t alle Funktionswerte < 3000 sein.

2. Gesamteinkommen

Das exakte Gesamteinkommen des Herrn Knut kann man berechnen, indem man alle einzelnen Monatseinkommen addiert. (Excel-Tabelle)

Ungefähr kann man das Monatseinkommen jedoch als Integral der oben gefundenen Funktion über die gesamte Arbeitszeit berechnen, also:

G Gesamtgehalt
Die obere Grenze gibt die Anzahl aller Arbeitsmonate des Herrn Knut an.

Der konstante Faktor 3000 darf vor das Integralzeichen gezogen werden.

Das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Einzelintegrale
(Die beiden Summanden der Funktion darf man einzeln integrieren.)